Als erstes habe ich im Parallels Confixx die Einstellungen zwischen dem Account einer anderen Seite und der "Problem"-Seite, wo AdminTools läuft, verglichen. Alle Einstellungen sind identisch.
Bei den vorhergehenden klappte es ohne Probleme, nur bei dem letzten nicht.
Also erst einmal "googeln". Auf der englisch-sprachigen Webseite Akeebabackup.com fand ich den Hinweis, in der .htaccess-Datei RewriteEngine Off einzustellen. Also per FTP die Datei heruntergeladen und mit dem Editor auf Off eingestellt und wieder hochgeladen. Danach ging es. Zumindest eine Lösung.